Решение задач динамики


Решение задач динамики - стр. 84


          Для линейной системы свободные колебания будут гармоническими:

 

                                                (9.2)

 

где     

 - собственный вектор представляющий i-ую форму колебаний;

 - i-ая собственная круговая частота (радиан за единицу времени);

t - время.

          Таким образом, матричное уравнение (9.1) принимает следующий вид:

 

                         (9.3)

 

Это уравнение имеет решение, кроме тривиального

 только тогда, когда определитель данной системы
равен нулю, то есть:

 

                                              (9.4)

 

Последнее уравнение и есть задача о собственных значениях. Решением уравнения (4), если  n - порядок матрицы, является характеристический полином n-го порядка, который имеет n корней:

,
, где n - число степеней свободы. Эти корни являются собственными значениями уравнения. Собственные вектора
, получают путем подстановки полученных корней
 в уравнение (3). Собственное значение
 определяет собственную частоту системы
, а собственный вектор
 - соответствующую форму колебаний (перемещение системы).

          Значения собственных круговых частот

 и собственных частот (f) связаны следующим соотношением:

 

                                                        (9.5)

 

где    

 - i-ая собственная частота (циклов в единицу времени).

Обычно собственный вектор

 называются нормированными, если выполняется следующее равенство (отражающее свойство ортогональности форм собственных колебаний):

 

                                        (9.6)

 

то есть

 

 

В другом случае собственный вектор

 нормируется из условия, чтобы наибольшие его составляющие равнялись единице. Условие ортогональности форм колебаний можно объяснить как равенство нулю сил инерции i-ой формы колебаний на перемещениях k-ой формы колебаний.

При использовании метода частотной конденсации (редукции степеней свободы) n собственных векторов затем могут быть развернуты на этапе “расширения” до полного набора модальных степеней свободы конструкции:




Начало  Назад  Вперед