Элементарные средства решения СЛУ
Решение систем линейных уравнений (СЛУ) относится к самой массовой области применения матричных методов, описанных в уроках 10-12. В этом разделе вы найдете ответы на вопросы, каким образом применяются указанные методы и какие дополнительные функции имеет система MATLAB для решения систем линейных уравнений.
Как известно, обычная СЛУ имеет вид:
а
11
X
1
, а
12
,X
2
..., а
1n
X
n
=b
1
Здесь а
11
, а,
2
,...,
а
пп
—
коэффициенты, образующие матрицу А, которые могут иметь действительные или комплексные значения,
x
1
, х
2
,..., х
п
—
неизвестные, образующие вектор X, и b
1
, b
2
,..., b
п
—
.свободные члены (действительные или комплексные), образующие вектор В. Эта система может быть представлена в матричном виде как АХ=В, где А — матрица коэффициентов уравнений, X — искомый вектор неизвестных и В — вектор свободных членов. В зависимости от вида матрицы А и ее характерных особенностей MATLAB позволяет реализовать различные методы решения.
Для реализации различных алгоритмов решения СЛУ и связанных с ними матричных операций применяются следующие операторы:
+,-,*,/, \, *, ' .
Как отмечалось ранее, MATLAB имеет два различных типа арифметических операций — поэлементные и для массивов (векторов и матриц) в целом. Матричные арифметические операции определяются
правилами линейной алгебры.
Арифметические операции сложения и вычитания над массивами выполняются поэлементно. Знак точки «.» отличает операции над элементами массивов от
матричных операций. Однако, поскольку операции сложения и вычитания одинаковы для матрицы и элементов массива, знаки «.+» и «.-» не используются. Рассмотрим другие операторы и выполняемые ими операции.
* — матричное умножение;
С = А*В — линейное алгебраическое произведение матриц А и В:
Для случая нескалярных А и В число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В. Скаляр может умножаться на матрицу любого размера.
/ —
правое
деление. Выражение Х=В/ А дает решение ряда систем линейных уравнений АХ=В, где А — матрица размера
тхп
и В — матрица размера
nxk;
\ —
левое
деление. Выражение Х=В\А дает решение ряда систем линейных уравнений ХА=В, где А — матрица размера
тхп
и В — матрица размера
nxk.
Если А — квадратная матрица, то А\В — примерно то же самое, что и inv(A)*B, в остальных случаях возможны варианты, отмеченные ниже.
Если А — матрица размера
пхп,
а В — вектор-столбец с
п
компонентами или матрица с несколькими подобными столбцами, тогда Х=А\В — решение уравнения АХ=В, которое находится хорошо известным методом исключения Гаусса.
Если А — матрица размера
тхп
и
тхп,
а В представляет собой вектор-столбец с m компонентами или матрицу с несколькими такими столбцами, тогда система оказывается недоопределенной или переопределенной и решается на основе минимизации второй нормы невязок.
Ранг
k
матрицы А находится на основе QR-разложения (урок 11) с выбором ведущего элемента. Полученное решение X будет иметь не больше чем
k
ненулевых компонентов на столбец. Если
k<n,
то решение, как правило, не будет совпадать с pinv(A)*B, которое имеет наименьшую норму невязок ||Х||.
^
—
возведение матрицы в степень. Х
А
р — это X в степени р, если р — скаляр. Если р — целое число, то степень матрицы вычисляется путем умножения X на себя р раз. Если р — целое отрицательное число, то X сначала инвертируется. Для других значений р вычисляются собственные значения и собственные векторы, так что если [V.D]=eig(X), то X*p=V*D.
A
p/V. Если X — скаляр и Р — матрица, то Х
А
Р — это скаляр X, возведенный в матричную степень Р. Если X и Р — матрицы, то Х
Л
Р становится некорректной операцией и система выдает сообщение об ошибке. Возможный вариант решения матричного уравнения АХ=В с применением оператора
^
можно представить как Х=В*А
^
-1.
' — транспонирование матрицы, то есть замена строк столбцами и наоборот. Например, А' — транспонированная матрица А. Для комплексных матриц транспонирование дополняется комплексным сопряжением. Транспонирование при решении СЛУ полезно, если в матрице А переставлены местами столбцы и строки.
При записи СЛУ в матричной форме необходимо следить за правильностью записи матрицы А и вектора В. Пример (в виде m-файла):
А-[2 1 |
0 |
1: |
|
1 -3 |
2 |
4; |
|
-5 0 |
-1 |
-7: |
|
1 -6 |
2 |
6]: |
|
В=[8 9 |
-5 |
0]: |
|
Х1=В/А |
|||
Х2=В*А ^ -1 |
|||
X3=B*inv(A) |
|||
X1 =
3.0000 -4.0000-1.00001.0000
Х2 =
3.0000 -4.0000-1.00001.0000
X3 =
3.0000 -4.0000-1.00001.0000
Как и следовало ожидать, результаты оказываются одинаковыми для всех трех методов. При решении систем линейных уравнений, особенно с разреженной матрицей коэффициентов, полезно применение функций colmmd (colamd), symmmd (symamd), описанных ранее в уроке 12.
