Вычисление нулей функции одной переменной
Ряд функций системы MATLAB предназначен для работы с функциями. По аналогии с дескрипторами графических объектов могут использоваться объекты класса дескрипторов функций, задаваемых с помощью символа @, например: » fe=@exp.
Примечание
Подфункциями понимаются как встроенные функции, например sin(x) или ехр(х),так и функции пользователя, например f(x), задаваемые как т-файлы-функции.
Численные значения таких функций, заданных дескрипторами, вычисляются с помощью функции feval:
» feval(fe.1.0)
ans =
2.7183
Для совместимости с прежними версиями можно записывать функции в символьном виде в апострофах, использование функции eval для их вычисления может быть более наглядно, не нужно создавать m-файл, но в учебном курсе мы будем стараться использовать новую нотацию, с использованием дескрипторов функций и feval, так как при этом программирование становится «более объектно-ориентированным», повышается скорость, точность и надежность численных методов. Поэтому, хотя везде в нижеследующем тексте вместо @fun можно подставить и символьное значение функции в апострофах, мы будем использовать нотацию @fun в дидактических целях. Все же иногда в интерактивном режиме можно использовать старую запись, чтобы не создавать m-файл функции.
Довольно часто возникает задача решения нелинейного уравнения вида
f(x) =
О или/, (г) =/
2
(дг). Последнее, однако, можно свести к виду
f(x)
=f
1
(х) -
f
2
(х) =
0. Таким образом, данная задача сводится к нахождению значений аргумента
х
функции
f(x)
одной переменной, при котором значение функции равно нулю. Соответствующая функция MATLAB, решающая данную задачу, приведена ниже:
fzero(@fun,x) — возвращает уточненное значение х, при котором достигается нуль функции fun, представленной в символьном виде, при начальном значении аргумента х. Возвращенное значение близко к точке, где функция меняет знак, или равно NaN, если такая точка не найдена;
fzero(@fun,[xl x2]) — возвращает значение х, при котором fun(x)=0 с заданием интервала поиска с помощью вектора x=[xl х2], такого, что знак fun(x(D) отличается от знака fun(x(2)). Если это не так, выдается сообщение об ошибке. Вызов функции fzero с интервалом гарантирует, что fzero возвратит значение, близкое к точке, где fun изменяет знак;
fzero(@fun,x.tol) — возвращает результат с заданной погрешностью tol;
fzero(@fun,x.tol .trace) — выдает на экран информацию о каждой итерации;
fzero(@fun,х.tol .trace,Р1.Р2,...) — предусматривает дополнительные аргументы, передаваемые в функцию fun(x.Pl,P2,...). При задании пустой матрицы для tol или trace используются значения по умолчанию. Пример:
fzero(fun,x,[ ],[ ],Р1).
Для функции fzero ноль рассматривается как точка, где график функции fun
пересекает
ось
х,
а не
касается
ее. В зависимости от формы задания функции fzero реализуются следующие хорошо известные численные методы поиска нуля функции: деления отрезка пополам, секущей и обратной квадратичной интерполяции. Приведенный ниже пример показывает приближенное вычисление р/2 из решения уравнения cos(x)=0 с представлением косинуса дескриптором:
» х= fzero(@cos.[1 3])
x =
1.5708
В более сложных случаях настоятельно рекомендуется строить график функции
f(x)
для приближенного определения корней и интервалов, в пределах которых они находятся. Ниже дан пример такого рода (следующий листинг представляет собой содержимое m-файла fun1.m):
%Функция, корни которой ищутся
function f=funl(x)
f=0.25*x+sin(x)-1;
» х=0:0.1:10;
» plot(x,funl(x));grid on;
Из рисунка нетрудно заметить, что значения корней заключены в интервалах [0.5 1], [2 3] и [5 6]. Найдем их, используя функцию fzero:
» xl=fzero(@funl.[0.5 1])
xl =
0.8905
» x2=fzero(@funl.[2 3])
x2 =
2.8500
» x3=fzero(@funl,[5.6])
x3 =
5.8128
» x3=fzero(@funl,5,0.001)
x3 =
5.8111
Обратите внимание на то, что корень хЗ найден двумя способами и что его значения в третьем знаке после десятичной точки отличаются в пределах заданной погрешности tol =0.001. К сожалению, сразу найти все корни функция fzero не в состоянии. Решим эту же систему при помощи функции f sol ve из пакета Optimization Toolbox, которая решает систему нелинейных уравнений вида f(x)=0 методом наименьших квадратов, ищет не только точки пересечения, но и точки касания, f solve имеет
почти те же параметры (дополнительный параметр — задание якобиана) и почти ту же запись, что и функция lsqnonneg, подробно рассмотренная ранее. Пример:
»fsolve(@funl,0:10 )
ans =
Columns 1 through 7
0.8905 0.8905 2.8500 2.8500 2.8500 5.8128 5.8128
Columns 8 through 11
5.8128 2.8500 2.8500 10.7429
Для решения систем нелинейных уравнений следует также использовать функцию solve из пакета Symbolic Math Toolbox. Эта функция способна выдавать результат в символьной форме, а если такого нет, то она позволяет получить решение в численном виде. Пример:
» solve('0.25*x + sin(x) -1) [
Пакеты расширения Symbolic Math ToolBox и Extended Symbolic Math Toolbox MATLAB 6.0 используют ядро Maple V Release 5 [30-35] и являются поэтому исключением: они пока не поддерживают новую нотацию с использованием дескрипторов функций. — Примеч. ред.
]
ans =
.89048708074438001001103173059554
