Иллюстрированный самоучитель по Matlab



Элементарные средства решения СЛУ - часть 2


 / —

правое

деление. Выражение Х=В/А дает решение ряда систем линейных уравнений АХ=В, где А — матрица размера

тхп

и В — матрица размера

nxk;

 \ —

левое

деление. Выражение Х=В\А дает решение ряда систем линейных уравнений ХА=В, где А — матрица размера

тхп

и В — матрица размера

nxk.

Если А — квадратная матрица, то А\В — примерно то же самое, что и inv(A)*B, в остальных случаях возможны варианты, отмеченные ниже.

Если А — матрица размера

пхп,

а В — вектор-столбец с

п

компонентами или матрица с несколькими подобными столбцами, тогда Х=А\В — решение уравнения АХ=В, которое находится хорошо известным методом исключения Гаусса.

Если А — матрица размера

тхп

и

тхп,

а В представляет собой вектор-столбец с m компонентами или матрицу с несколькими такими столбцами, тогда система оказывается недоопределенной или переопределенной и решается на основе минимизации второй нормы невязок.

Ранг

k

матрицы А находится на основе QR-разложения (урок 11) с выбором ведущего элемента. Полученное решение X будет иметь не больше чем

k

ненулевых компонентов на столбец. Если

k<n,

то решение, как правило, не будет совпадать с pinv(A)*B, которое имеет наименьшую норму невязок ||Х||.

^

возведение матрицы в степень. Х

А

р — это X в степени р, если р — скаляр. Если р — целое число, то степень матрицы вычисляется путем умножения X на себя р раз. Если р — целое отрицательное число, то X сначала инвертируется. Для других значений р вычисляются собственные значения и собственные векторы, так что если [V.D]=eig(X), то X*p=V*D.

A

p/V. Если X — скаляр и Р — матрица, то Х

А

Р — это скаляр X, возведенный в матричную степень Р. Если X и Р — матрицы, то Х

Л

Р становится некорректной операцией и система выдает сообщение об ошибке. Возможный вариант решения матричного уравнения АХ=В с применением оператора

^

можно представить как Х=В*А

^

-1.

 ' — транспонирование матрицы, то есть замена строк столбцами и наоборот. Например, А' — транспонированная матрица А. Для комплексных матриц транспонирование дополняется комплексным сопряжением. Транспонирование при решении СЛУ полезно, если в матрице А переставлены местами столбцы и строки.




Содержание  Назад  Вперед