Иллюстрированный самоучитель по Matlab


Элементарные средства решения СЛУ - часть 2


 / —

правое

деление. Выражение Х=В/А дает решение ряда систем линейных уравнений АХ=В, где А — матрица размера

тхп

и В — матрица размера

nxk;


  •  \ —

    левое

    деление. Выражение Х=В\А дает решение ряда систем линейных уравнений ХА=В, где А — матрица размера

    тхп

    и В — матрица размера

    nxk.

    Если А — квадратная матрица, то А\В — примерно то же самое, что и inv(A)*B, в остальных случаях возможны варианты, отмеченные ниже.

  • Если А — матрица размера

    пхп,

    а В — вектор-столбец с

    п

    компонентами или матрица с несколькими подобными столбцами, тогда Х=А\В — решение уравнения АХ=В, которое находится хорошо известным методом исключения Гаусса.

    Если А — матрица размера

    тхп

    и

    тхп,

    а В представляет собой вектор-столбец с m компонентами или матрицу с несколькими такими столбцами, тогда система оказывается недоопределенной или переопределенной и решается на основе минимизации второй нормы невязок.

    Ранг

    k

    матрицы А находится на основе QR-разложения (урок 11) с выбором ведущего элемента. Полученное решение X будет иметь не больше чем

    k

    ненулевых компонентов на столбец. Если

    k<n,

    то решение, как правило, не будет совпадать с pinv(A)*B, которое имеет наименьшую норму невязок ||Х||.

    • ^

      возведение матрицы в степень. Х

      А

      р — это X в степени р, если р — скаляр. Если р — целое число, то степень матрицы вычисляется путем умножения X на себя р раз. Если р — целое отрицательное число, то X сначала инвертируется. Для других значений р вычисляются собственные значения и собственные векторы, так что если [V.D]=eig(X), то X*p=V*D.

      A

      p/V. Если X — скаляр и Р — матрица, то Х

      А

      Р — это скаляр X, возведенный в матричную степень Р. Если X и Р — матрицы, то Х

      Л

      Р становится некорректной операцией и система выдает сообщение об ошибке. Возможный вариант решения матричного уравнения АХ=В с применением оператора

      ^

      можно представить как Х=В*А

      ^

      -1.

    •  ' — транспонирование матрицы, то есть замена строк столбцами и наоборот. Например, А' — транспонированная матрица А. Для комплексных матриц транспонирование дополняется комплексным сопряжением. Транспонирование при решении СЛУ полезно, если в матрице А переставлены местами столбцы и строки.




      Начало  Назад  Вперед